1. 概述
本文将介绍如何计算卷积层的输出尺寸。我们会先简要回顾卷积操作和卷积层的基本概念，然后推导出计算输出尺寸的通用公式，并通过一个具体示例加深理解。
2. 卷积操作
卷积是一种数学运算，用于将两个函数（图像和卷积核）结合，生成一个输出函数。在计算机视觉中，图像表示为一个二维矩阵 I，卷积核是一个较小的矩阵 K。
卷积过程如下：
- 卷积核在图像上滑动
- 每次滑动后，与图像对应区域做逐元素乘法
- 然后将结果相加，得到输出矩阵的一个元素
举个例子：我们有一个 5×5 的图像 I 和一个 3×3 的卷积核 K。
下图展示了卷积过程中图像中被选中的像素（加粗部分）：
以中心像素为例，卷积计算如下：
逐元素相乘并求和：
$$ 2×1 + 4×3 + 6×2 + 24×2 + 5×9 + 13×3 + 1×7 + 6×1 + 8×6 = 129 $$
因此，输出激活图的中心像素值为 129。
3. 卷积层
卷积层是卷积神经网络（CNN）的核心组件。每层包含多个可学习的卷积核（filter），在前向传播时，每个卷积核都会与输入进行卷积操作，生成对应的激活图（activation map）。
卷积核在训练过程中会学习图像中特定特征的响应。例如，下图展示的是一个用于边缘检测的经典卷积核：Prewitt 算子。
4. 超参数
要计算卷积层输出尺寸，必须了解两个关键超参数：
4.1 步长（Stride）
Stride（S） 表示卷积核每次滑动的步长。如果 S=1，卷积核每次移动一个像素；如果 S=2，则移动两个像素，以此类推。
当需要对图像进行下采样时，通常会设置 S > 1。
下图展示了当 S=2 时的卷积过程：
4.2 填充（Padding）
图像边缘的像素在卷积中参与的次数远少于中心像素。例如，使用 3×3 的卷积核处理 5×5 的图像时，角点像素只参与一次，而中心像素参与 9 次。
为了解决边缘信息丢失的问题，我们通常在图像边缘添加零填充（zero-padding）。
添加 P 层填充后，图像尺寸从 W×H 变为 (W+2P)×(H+2P)。
下图展示了 P=2 时的填充效果：
通过填充，我们可以增强边缘像素在训练中的作用。
5. 输出尺寸公式
假设输入图像尺寸为 W_in × H_in，卷积核尺寸为 K × K，步长为 S，填充为 P。
卷积层输出的激活图尺寸为：
$$ W_{out} = \frac{W_{in} - K + 2P}{S} + 1 \ H_{out} = \frac{H_{in} - K + 2P}{S} + 1 $$
⚠️ 如果结果不是整数，说明参数设置不合理，需要调整。
两种常见情况：
- 无填充（P=0）： $$ \left( \frac{W_{in} - K}{S} + 1, \frac{H_{in} - K}{S} + 1 \right) $$
- 保持输入输出尺寸一致（same padding）： $$ W_{out} = W_{in}, \quad H_{out} = H_{in} $$ 当 S=1 时，P 应设为： $$ P = \frac{K - 1}{2} $$
6. 示例
我们以一个具体示例说明公式应用。
输入图像尺寸：125 × 49
卷积核尺寸：5 × 5
填充：P=2
步长：S=2
代入公式得：
$$ W_{out} = \frac{125 - 5 + 2×2}{2} + 1 = \frac{124}{2} + 1 = 62 \ H_{out} = \frac{49 - 5 + 2×2}{2} + 1 = \frac{48}{2} + 1 = 24 $$
✅ 输出激活图尺寸为：62 × 24
7. 小结
本文介绍了：
- 卷积操作的基本流程
- 卷积层的作用
- 关键超参数（Stride、Padding）
- 输出尺寸计算公式
- 一个具体示例
掌握这些内容有助于在构建 CNN 网络时更好地控制特征图尺寸，避免维度不匹配导致的错误。