梯度优化算法详解 | Baeldung中文网

1. 概述

在本文中，我们将深入探讨基于梯度的优化算法。我们会先介绍优化问题的基本概念，接着讲解函数的导数定义及其在梯度计算中的作用。然后，我们会详细介绍最经典的梯度下降算法（Gradient Descent），并进一步将其扩展到多输入函数的优化场景。

2. 优化问题简介

优化的目标是找到一个输入值 $\mathbf{x}$ ，使得目标函数达到最小值或最大值。

在实际中，我们通常只讨论最小化问题，因为最大化问题可以通过对函数取负值转化为最小化问题。也就是说：

最大化 ⇔ 最小化

我们通常将需要最小化的函数称为目标函数（objective function）或损失函数（loss function）。

示例：线性最小二乘问题

一个典型的优化问题例子是线性最小二乘（Linear Least Squares），其目标函数如下：

$f(x) = \frac{1}{2} || A \ x - b ||^2$

我们希望找到使该函数取得最小值的输入值：

$x^{\ast} = argmin \ f(x)$

3. 函数的导数

梯度是所有基于梯度优化算法的核心组成部分。我们先从单变量函数入手，其导数记为 f'(x) 或 df/dx 。

几何上，导数表示函数在某一点的斜率，如下图所示：

derivative of a function

换句话说，导数反映了输入值的微小变化对输出值的影响程度。

4. 梯度下降算法

梯度下降（Gradient Descent）是最经典、最常用的梯度优化算法之一，最早由数学家 Augustin-Louis Cauchy 提出。

其核心思想非常直观：

对于一个函数，如果我们沿着其导数的反方向移动一个小步长 $\epsilon$ ，就可以使函数值减小。

示例说明

我们以一个简单的函数为例：

$f(x) = \frac{1}{2} x^2$

其导数为：

$f^{'}(x) = \frac{1}{2} 2 x = x$

我们希望找到该函数的全局最小值，即 x=0 。

假设我们从一个随机的初始值 x_1 开始：

如果，则，说明函数在上升，应该向左移动（减小）
如果，则，说明函数在下降，应该向右移动（增大）

整个过程如下图所示：

gradient descent

我们通过不断迭代更新，直到函数值的变化小于某个预设的小阈值，此时认为已找到最小值。

5. 多输入优化

当函数有多个输入变量时（例如 x_1, x_2, ..., x_n ），我们需要使用偏导数（partial derivatives）来衡量函数在每个方向上的变化率。

偏导数记为：

$\frac{\partial f}{\partial x_i}$

梯度是一个向量，包含所有偏导数：

$\nabla_x f(x)$

梯度方向的意义

正梯度方向指向函数上升最快的方向
负梯度方向指向函数下降最快的方向

因此，在多输入场景下，我们仍然可以沿负梯度方向进行迭代更新，从而逐步逼近函数的最小值。

6. 总结

✅ 本文系统介绍了基于梯度的优化算法，包括：

优化问题的基本概念
函数导数的定义与作用
梯度下降算法的原理与示例
多输入场景下的梯度与优化方法

❌ 注意：梯度下降虽然简单有效，但在实际应用中可能面临收敛慢、陷入局部极小值等问题，后续可结合动量、学习率调整等策略改进。

⚠️ 提醒：梯度下降适用于可导函数，对于非光滑或非凸函数需谨慎使用。

原始标题:Optimization: Gradient-Based Algorithms

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