1. 概述
本文将介绍优化（Optimization）这一重要领域。我们会从基础概念讲起，重点解析优化问题中的三个核心组成部分：
- 目标函数（Objective Function）
- 决策变量（Decision Variables）
- 约束条件（Constraints）
这些概念在工程、金融、交通等多个领域都有广泛应用。理解它们是构建和求解优化模型的第一步。
2. 什么是优化？
优化本质上就是寻找最优解的过程。在数学和工程领域，优化问题通常是指在某些限制条件下，最大化或最小化某个目标函数。
例如，你可能希望最小化生产成本、最大化投资回报，或在资源有限的情况下做出最佳决策。这些都是典型的优化场景。
3. 目标函数（Objective Function）
✅ 目标函数就是我们希望优化的那个函数。它可以是利润、成本、时间、能量等具体指标的数学表达。
通常表示为：
$$ f(x) $$
例如：
- 最大化利润：$ f(x) = 5x + 3y $
- 最小化能耗：$ f(x) = x^2 + y^2 $
📌 一句话总结：目标函数就是我们关心的“结果”。
4. 决策变量（Decision Variables）
✅ 决策变量是我们可以控制、调整的变量，用于影响目标函数的值。它们是优化问题中的“自由度”。
例如，在投资问题中，决策变量可能是你分配到不同资产的资金比例；在生产中，可能是不同产品的产量。
通常表示为：
$$ x, y, z $$
📌 一句话总结：决策变量就是我们能“动手脚”的变量。
5. 约束条件（Constraints）
✅ 约束条件是对决策变量的限制，确保解在实际可行范围内。它们可以是等式也可以是不等式。
例如：
- 资源总量不能超过某个值：$ x + y \leq 100 $
- 投资比例之和为1：$ x + y = 1 $
- 变量必须为非负数：$ x \geq 0 $
通常表示为：
$$ g_n(x) \leq 0 \quad 或 \quad h_n(x) = 0 $$
📌 一句话总结：约束就是“规矩”，不能越界。
6. 一个简单例子：最大化矩形面积
我们来构建一个具体的优化问题，帮助理解上述三个概念。
问题描述：
在给定周长为 10 的前提下，如何使矩形面积最大？
这个问题可以形式化为：
$$ \text{max} \quad f(a, b) = ab \quad \text{subject to} \quad g_1(a, b) = a + b = 10 $$
其中：
- $ a $ 和 $ b $ 是矩形的两条边，即决策变量
- $ f(a, b) = ab $ 是矩形面积，即目标函数
- $ a + b = 10 $ 是约束条件
解法简述：
利用约束条件 $ a + b = 10 $，我们可以将 $ b $ 表示为 $ b = 10 - a $，代入目标函数得：
$$ f(a) = a(10 - a) = 10a - a^2 $$
对 $ a $ 求导并令导数为零：
$$ \frac{df}{da} = 10 - 2a = 0 \Rightarrow a = 5 $$
此时 $ b = 10 - a = 5 $，因此最优解是一个正方形。
小结：
通过这个例子可以看出：
- 决策变量：$ a, b $
- 目标函数：面积 $ ab $
- 约束条件：周长固定 $ a + b = 10 $
✅ 结论：在周长固定的前提下，面积最大的矩形是正方形。
7. 总结
本文介绍了优化问题的三大核心要素：
| 组成部分 | 作用 | 示例 |
|---|---|---|
| 目标函数 | 我们想优化的目标 | 最大化利润、最小化能耗 |
| 决策变量 | 我们可以调整的变量 | 投资金额、生产数量 |
| 约束条件 | 限制条件 | 资源上限、非负性 |
掌握这三者是构建和理解优化模型的基础。在后续文章中，我们将深入探讨线性规划、非线性规划、整数规划等具体优化方法，以及它们在实际项目中的应用。