1. 简介
在本文中，我们将介绍一种用于膨胀（inflate）或收缩（deflate）多边形的算法。这个过程在图形处理、地理信息系统（GIS）、CAD 设计等领域中非常常见。我们不仅会讲解如何进行简单的缩放（homothety），还会深入探讨更复杂的多边形偏移（offsetting）操作。
2. 一般形式的位似变换（Homothety）
我们以一个简单的图形——正方形为例。想象我们将其放大或缩小，这种操作被称为位似变换（homothetic transformation）或空间均匀缩放（homogeneous dilation）：
假设我们有一个由顶点集合 $ V = {(x_1,y_1), (x_2,y_2),...,(x_n,y_n)} $ 构成的多边形，我们选择一个中心点 $ S = (s_x, s_y) $ 作为位似中心。再选定一个比例因子 $ \lambda \in \mathbb{R} $，那么每个顶点 $ v = (v_x, v_y) $ 的变换后坐标 $ v' = H(v) $ 可以表示为：
$$ v' = S + \lambda \cdot \vec{Sv} $$
或者更具体地写为：
$$ (v'_x, v'_y) = (S_x + \lambda (v_x - S_x), S_y + \lambda (v_y - S_y)) $$
这个公式是位似变换的核心。
3. 均匀缩放（Uniform Scaling）作为特例
当位似中心为原点 $ (S_x, S_y) = (0, 0) $ 时，变换公式简化为：
$$ (v'_x, v'_y) = (\lambda v_x, \lambda v_y) $$
这种情况被称为均匀缩放（uniform scaling），其中 $ \lambda $ 称为缩放因子。
✅ 优点：计算简单，适合对称图形。
❌ 缺点：不能保持图形边缘与原图等距。
4. 位似变换 vs. 图形偏移（Offsetting）
有时候我们不仅希望放大或缩小图形，还希望新图形的每一点都与原图形最近点保持固定距离。这种操作称为图形偏移（offsetting），也叫多边形缓冲（polygon buffering）。
例如，对一个圆形进行缩放时，如果以圆心为中心，其位似变换可以满足等距要求；但对于多边形来说，位似变换通常不能满足等距约束。
⚠️ 位似变换 ≠ 图形偏移！
5. 多边形偏移的具体步骤
要对一个已知顶点的多边形进行偏移，可以按照以下步骤操作：
- 复制每个顶点；
- 将复制后的顶点与前一个顶点连接成线段；
- **沿线段方向移动固定距离 $ \delta $**；
- 根据线段斜率计算偏移方向；
- 连接偏移后的顶点并处理拐角。
5.1 计算偏移方向
设线段 $ \overline{\rm AB} $ 的斜率为：
$$ m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} $$
与该线段垂直的直线的斜率为 $ -\frac{1}{m} $。
对于每个顶点偏移后的新坐标 $ (x_{new}, y_{new}) $，需满足：
$$ \frac{y_{new} - y_{old}}{x_{new} - x_{old}} = -\frac{1}{m} $$
$$ (y_{new}-y_{old})^2 + (x_{new}-x_{old})^2 = \delta^2 $$
这两个方程构成一个二元二次方程组，可以通过代数方法求解。
6. 连接偏移后的线段
偏移完成后，需要将相邻线段之间的空隙用圆弧填补。具体做法是：
- 以原顶点为中心；
- 以偏移距离 $ \delta $ 为半径；
- 绘制一个夹在两个偏移线段之间的圆弧。
这个动画演示了整个膨胀过程：
⚠️ 注意：对于凹多边形，需判断偏移后的点是否在原图形外部，否则需删除这些点。
✅ 该算法同样适用于收缩操作，只需将偏移方向取反（即 $ \delta $ 取负值）即可。
7. 总结
本文介绍了两种常见的多边形缩放方式：
- 位似变换（Homothety）：快速缩放，但不保证边缘等距；
- 偏移变换（Offsetting）：更复杂，但能保证边缘等距，适用于地理围栏、图形缓冲等场景。
两种方法各有优劣，选择时应根据具体需求判断。如果你需要精确控制图形边缘的距离，偏移是更合适的选择。