1. 简介
红黑树（Red-Black Tree） 是一种自平衡的二叉搜索树。在本教程中，我们将探讨它在实际中的一些关键应用场景。
2. 使用红黑树的动机
在之前的一篇文章中，我们学习了二叉搜索树的基本操作，这些操作在一个动态集合上的时间复杂度为 O(h)，其中 h 为树的高度。
⚠️ 这些操作的效率取决于树的高度。如果树很高，性能会退化到接近链表的水平。
红黑树是一种平衡树结构，它能保证最坏情况下，INSERT、DELETE 和 SEARCH 操作的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是树中元素的数量。
3. 红黑树的特性
红黑树本质上是一种带有颜色属性的二叉搜索树，每个节点除了包含常规的键值和指针外，还有一个表示颜色的字段，取值为 RED 或 BLACK。
通过以下规则来维持树的平衡性：
3.1 着色规则
- 每个节点要么是红色，要么是黑色。
- 根节点是黑色。
- 每个叶子节点（NULL 节点）是黑色。
- 如果一个节点是红色，则它的两个子节点必须是黑色（没有连续的红色节点）。
- 从任意节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数量的黑色节点。
这些规则确保了红黑树的近似平衡性。
3.2 高度特性
从一个节点 x（不含 x）到其任意后代叶子节点的路径中，黑色节点的数量称为该节点的 黑高度（black-height），记作 bh(x)。
红黑树的关键特性是：对于含有 n 个节点的红黑树，其最大高度不超过 2 log(n + 1)。这意味着它比普通的二叉搜索树具有更好的性能保证。
在插入和删除操作后，树可能会违反红黑规则，这时需要通过 重新着色 和 旋转操作 来恢复平衡。
4. 应用场景
红黑树因其高效的插入、删除和查找性能，被广泛用于对性能敏感的场景，例如实时系统、操作系统内核、数据库引擎等。
4.1 AVL 树
AVL 树 是最早提出的自平衡二叉搜索树之一。它要求任意节点的两个子树高度差不超过 1。
AVL 树的平衡性更强，其最坏情况下的高度是红黑树的约 0.72 倍。但 AVL 树插入和删除时可能需要更多次的旋转操作。
✅ AVL 树可以被红黑着色，因此它是红黑树的一个子集。
4.2 Tango 树
Tango 树是一种为快速搜索优化的二叉搜索树结构，其原始设计中使用了红黑树作为其底层实现的一部分。
4.3 函数式编程
红黑树常用于函数式编程语言中构建 关联数组（associative arrays）。
它通常与 2-4 树 配合使用，后者是一种每个节点最多有 4 个子节点的自平衡结构。
✅ 每个 2-4 树都可以对应一个红黑树，其元素顺序保持一致。
Guibas 和 Sedgewick（1978）证明：红黑树可以与 2-3 树或 2-4 树等价，称为 isometric 结构。
4.4 Java 中的应用
Java 中的以下类基于红黑树实现：
- ✅
TreeSet：用于维护有序集合 - ✅
TreeMap：用于实现有序的键值映射
此外，从 Java 8 开始，HashMap 在哈希冲突较多时使用红黑树代替链表来存储数据，从而将查找时间从 O(n) 提升到 O(log n)。
// 示例：HashMap 内部使用红黑树（当链表长度 >= 8 时）
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
map.put(1, "one");
map.put(9, "nine");
map.put(17, "seventeen");
4.5 计算几何
红黑树在计算几何中也有广泛应用，例如：
- ✅ Cgal 库中的 multiset 实现借鉴了 STL 的 multiset，底层使用红黑树。
- ✅ 圆包含层次结构的扫描线算法（Sweep-Line Algorithm）中，红黑树用于高效维护事件队列和状态结构。
⚠️ 该算法的时间复杂度为 O(n log n)，由 Deok-Soo Kim 等人提出。
4.6 Linux 内核
Linux 内核中的 完全公平调度器（Completely Fair Scheduler, CFS） 使用红黑树来管理进程。
- 每个进程以虚拟运行时间（vruntime）为键，存储在红黑树中。
- 每次调度时，选择 vruntime 最小的进程，即红黑树中最左节点。
另一个重要用途是内存管理中跟踪进程的虚拟内存段，以起始地址为键维护红黑树。
4.7 机器学习
红黑树在机器学习中有潜在的应用价值，尤其是在需要高效查找和排序的场景中：
- ✅ 用于 K-Means 聚类算法中加速最近邻查找
- ✅ 用于构建索引结构，加速数据检索
4.8 数据库引擎
数据库引擎中的索引结构常使用红黑树或其变种。
例如：
- ✅ MySQL 使用 B+ 树作为索引结构，而红黑树在结构上类似于 4 阶 B 树。
- B+ 树的特点包括：
- 非叶子节点仅存储索引，不存储数据
- 所有数据都在叶子节点，并通过指针连接，提高范围查询效率
5. 小结
红黑树因其高效的平衡特性，在多个领域都有广泛应用：
- ✅ 数据结构库（如 Java 的 TreeMap、TreeSet）
- ✅ 函数式编程和 2-4 树结合使用
- ✅ 操作系统内核（如 Linux 的 CFS 和内存管理）
- ✅ 数据库索引和计算几何算法
⚠️ 红黑树的实现虽然复杂，但其性能优势使其成为很多高性能系统的核心组件之一。
对于开发者来说，理解红黑树的原理和应用场景，有助于在实际开发中做出更优的技术选型。