将数字减少到1所需的最小步骤数

1. 问题定义

我们被给定一个数字 N，需要将其减少到 1，使用尽可能少的操作。允许的操作包括：

1. 加1：当前数字变为 N + 1
2. 减1：当前数字变为 N - 1
3. 除以2（仅当数字为偶数时）：当前数字变为 N / 2

例如：

• 若 N = 28，最优路径为：
  28 → 14 → 7 → 8 → 4 → 2 → 1（共6步）

• 若 N = 13，最优路径为：
  13 → 12 → 6 → 3 → 2 → 1（共5步）

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2. 非最优贪心解法（Greedy）

思路

• 如果 N 是偶数，就除以2
• 如果 N 是奇数，就减1

示例

• N = 10，路径为：
  10 → 5 → 4 → 2 → 1（共4步）

缺陷

该方法不总是最优。例如：

• N = 15，贪心路径为：
  15 → 14 → 7 → 6 → 3 → 2 → 1（共6步）

但更优路径是：
15 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1（共5步）

✅ 结论：速度快，但不保证最优解

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3. BFS 解法（广度优先搜索）

思路

将每个数字视为图中的一个节点，节点之间通过加1、减1、除以2（偶数时）连接。

使用 BFS 搜索最短路径。

实现（伪代码）

algorithm BFSApproach(N):
    answer <- new array of size 2*N initialized to infinity
    queue <- new queue

    answer[N] <- 0
    queue.push(N)

    while not queue.empty():
        current <- queue.pop()

        if current == 1:
            break

        for next in [current+1, current-1, current/2 if even]:
            if answer[next] > answer[current] + 1:
                answer[next] = answer[current] + 1
                queue.push(next)

    return answer[1]

复杂度

• 时间复杂度：O(N)，其中 N 是起始数字
• 空间复杂度：O(N)

✅ 优点：能保证最优解
❌ 缺点：效率不如贪心，尤其在大数时

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4. 最优贪心解法（Optimal Greedy）

理论基础

• 如果 N 是偶数 → 除以2
• 如果 N 是奇数：
  • 若 N == 3 或 N % 4 == 1 → 减1
  • 否则 → 加1

示例

• N = 15：
  • 15 % 4 == 3 → 加1 → 16
  • 16 → 8 → 4 → 2 → 1（共5步）

实现（伪代码）

algorithm OptimalGreedyApproach(N):
    answer <- 0
    while N > 1:
        if N is even:
            N = N / 2
        else if N == 3 or N % 4 == 1:
            N = N - 1
        else:
            N = N + 1
        answer += 1
    return answer

复杂度

• 时间复杂度：O(log N)
• 空间复杂度：O(1)

✅ 优点：高效且最优
✅ 适用场景：大数场景下的最优解查找

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5. 总结

我们讨论了三种方法来解决“将数字减少到1”的问题：

方法	是否最优	时间复杂度	适用场景
贪心法（非最优）	❌	O(log N)	快速近似解
BFS	✅	O(N)	小数字、需最优解
最优贪心法	✅	O(log N)	大数字、需最优解

✅ 推荐：使用最优贪心法，兼顾效率和准确性
⚠️ 注意：在 N == 3 时要特殊处理（减两次）