1. 引言
在本篇文章中，我们将对比两种用于动态系统决策的方法：强化学习（Reinforcement Learning, RL） 和 最优控制（Optimal Control）。我们将分别介绍它们的基本概念、数学方法，并分析它们的核心区别与应用场景。
2. 强化学习
强化学习是一种用于决策问题的数学框架，最早由 John von Neumann 和 Oskar Morgenstern 在 1950 年代的著作《博弈论与经济行为》中提出。
在机器学习领域，强化学习通过训练“智能体（Agent）”来做出决策。这些智能体在特定环境中执行动作（action），根据动作的结果获得奖励（reward）或惩罚（penalty），从而不断优化其策略（policy）以最大化长期回报。
✅ 强化学习的本质是一个试错过程：智能体通过与环境交互来学习最优策略。
下图展示了强化学习的基本结构：
2.1 数学建模
强化学习问题通常建模为 马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP），其定义包括以下几个核心元素：
- 状态集合 $ S $
- 动作集合 $ A $
- 转移函数 $ T(s' | s, a) $：表示在状态 $ s $ 执行动作 $ a $ 后转移到状态 $ s' $ 的概率
- 奖励函数 $ R(s, a) $：表示在状态 $ s $ 执行动作 $ a $ 所获得的即时奖励
定义价值函数 $ V_{\pi}(s) $ 为从状态 $ s $ 出发，遵循策略 $ \pi $ 所获得的期望累计奖励：
$$ V_{\pi}(s) = \mathbb{E}[R(s, \pi(s)) + \gamma \cdot \sum_{s' \in S} T(s'|s, \pi(s)) \cdot V_{\pi}(s')] $$
其中 $ \gamma $ 是折扣因子，用于权衡当前奖励与未来奖励的重要性。
强化学习的目标是找到一个最优策略 $ \pi^* $，使得价值函数最大化。
2.2 算法分类
强化学习算法大致可分为三类：
- 基于价值的方法（Value-based methods）：如 Q-learning、SARSA
- 基于策略的方法（Policy-based methods）：如 REINFORCE、Actor-Critic
- 基于模型的方法（Model-based methods）：如 Dyna 架构，结合了环境模型与策略学习
3. 最优控制
与强化学习不同，最优控制主要用于物理系统和工程系统的设计，目标是找到一个最优的控制输入，使得系统在固定时间内达到最佳性能。
通常，最优控制的目标是最小化一个代价函数（cost function），该函数通常由系统的状态和控制输入组成。
最优控制的系统结构如下图所示：
3.1 常见数学方法
常见的最优控制方法包括：
| 方法 | 说明 |
|---|---|
| 动态规划（Dynamic Programming, DP） | 适用于状态有限且系统动态已知的问题，通过递归求解子问题 |
| 庞特里亚金最小值原理（Pontryagin's Minimum Principle, PMP） | 利用哈密顿函数求解最优控制输入，适用于连续状态和控制问题 |
| 哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman, HJB） | 使用偏微分方程求解价值函数，适用于连续状态和控制 |
这些方法都依赖于系统模型的精确数学描述，通常不涉及试错学习。
4. 核心区别
尽管强化学习和最优控制都致力于动态系统的最优决策，但它们之间存在几个关键区别：
| 维度 | 强化学习 | 最优控制 |
|---|---|---|
| 模型依赖 | 通常不依赖模型（model-free），也可以是 model-based | 依赖精确的系统模型 |
| 学习方式 | 试错交互，通过经验学习 | 数学推导，解析求解 |
| 奖励/代价函数 | 通常定义为奖励最大化 | 通常定义为代价最小化 |
| 应用领域 | 机器人、游戏、推荐系统等 | 航空航天、汽车控制、电力系统等 |
| 状态空间 | 可处理离散和连续状态，尤其适合复杂环境 | 更适合连续状态和已知模型的系统 |
5. 实际应用
5.1 强化学习应用
- ✅ 机器人：用于训练机械臂抓取、行走机器人控制等
- ✅ 游戏 AI：AlphaGo、星际争霸 AI 等
- ✅ 推荐系统：个性化内容推荐、广告投放优化
5.2 最优控制应用
- ✅ 航空航天：飞行器姿态控制、导航系统
- ✅ 汽车工程：自动驾驶路径规划、发动机控制
- ✅ 电力系统：电网调度、发电机组控制
6. 总结
本文对比了强化学习与最优控制的基本概念、数学建模方法、核心区别与典型应用场景。
- ✅ 强化学习 是一种基于试错的学习方法，适用于复杂、不确定性强的环境；
- ✅ 最优控制 是一种基于数学模型的解析方法，适用于系统模型已知、状态连续的工程问题。
在实际项目中，可以根据系统是否具有精确模型、是否需要在线学习、是否需要适应复杂环境等因素，选择合适的方法或结合使用两者。