1. 简介
在本文中，我们将讨论如何计算一支球队在体育比赛中获胜的概率。为便于理解，我们以足球比赛为例进行说明。
体育比赛结果的预测是一项既有趣又具有挑战性的任务，因为体育比赛本身具有高度不确定性。✅ 影响一场比赛结果的因素看似无穷无尽，这也是人们热衷于观看比赛的原因之一。
尽管预测比赛结果难度很大，但包括博彩公司、投注者和球迷在内的各方仍对此投入大量资源。随着在线体育博彩的兴起，对比赛结果预测的兴趣也大幅增加。体育专家甚至前职业球员常常会对即将进行的比赛做出预测，并通过媒体发布。这些预测通常以赔率的形式呈现，为投注者提供一种专家建议。
1.1. 赔率的应用场景
固定赔率反映了博彩公司（bookmakers）的预测，而“彩池投注”（parimutuel betting）市场中的赔率则体现了所有投注者的集体预期，即一种聚合型专家预测。
博彩行业本质上是风险投资，其中金融风险尤为突出，它可能阻碍企业的财务增长。博彩公司通过对赛马或足球比赛等项目的结果进行预测来盈利并规避财务风险。如果预测准确，就能确保利润并避免亏损。
为了控制风险，博彩公司会制定策略，使得赔率在预测准确的情况下仍对其有利。
足球是全球最受欢迎的体育项目之一，拥有庞大的粉丝基础。近年来，许多国家在足球比赛中收集了大量新型数据，例如逐次进攻数据（play-by-play data），包括每次射门或传球的详细信息。我们将以足球为例，说明如何计算体育比赛中的赔率。
2. 赔率背后的数学原理
赔率的计算有助于判断一笔投注是否值得参与。
赔率有两个主要作用：
- 表示与之对应的事件发生的概率（隐含概率）
- 表示如果我们投注该事件，可以获得多少收益
赔率的展示方式主要有三种：
- 分数赔率（Fractional / 英式赔率）：如 ![\frac{6}{1}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-724b9d6f033fe0598f245d4497daecb5_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com)，或写作六比一（6:1）
- 小数赔率（Decimal / 欧洲赔率）：表示每投注 ![$1](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-782d653376e1f5bd67b92aab57db2d7c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com) 所能赢得的金额
- 美式赔率（Money Line / 美国赔率）：带有“+”或“-”符号，其中“+”代表低概率高回报事件
下图展示了三种赔率的示例：
需要注意的是，博彩公司通常会调整赔率以引导投注方向。由于博彩公司会从中抽成（通常称为“水钱”、“抽头”或“vig”），因此一个事件所有结果的总概率会超过 100%。
2.1. 使用美式赔率计算收益
以皇马（-130）为例，要赢得 ![$100](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf29eeebb0d9f3be1b1af5f83ca232ab_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com) 需要下注 ![$130](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc2b6d10db9ba71c3dd2ad743a0f066d_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com)。如果你下注 ![$40](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc207b793f3773dd7fd6fa3802c838cf_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com)：
$$ \frac{130}{100} = \frac{40}{x} $$
交叉相乘得：
$$ 130 \times x = 4000 $$
解得：
$$ x = \frac{4000}{130} = 30.77 $$
因此，你将赢得 ![$30.77](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-badd0c84d042a8d2c56328190f1335ca_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com)，总回报为 ![$70.77](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f2fa9cad1e554e4c4e5aad4e5ffbf50b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com)（本金 + 收益）。
如果你下注 ![$40](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc207b793f3773dd7fd6fa3802c838cf_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com) 投注巴萨（+110）：
$$ \frac{100}{110} = \frac{40}{x} $$
交叉相乘得：
$$ 100 \times x = 4400 $$
解得：
$$ x = \frac{4400}{100} = 44.00 $$
你将赢得 ![$44.00](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-740d01294ee0dfbff138242afd9cb9c5_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com)，总回报为 ![$84.00](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf9075e331c5222f8e5369b3e5fb2b6c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com)
隐含概率的计算
隐含概率（Implied Probability）是赔率所暗示的事件发生概率。计算方法是将赔率转换为百分比。
公式如下：
$$ \text{Implied Probability} = \frac{\text{Risk}}{\text{Return}} $$
正赔率公式：
$$ \text{Implied Probability} = \frac{100}{\text{Positive US Odds} + 100} $$
例如巴萨（+110）：
$$ \text{Implied Probability} = \frac{100}{110 + 100} = 0.476 \quad \text{或} \quad 47.6% $$
负赔率公式：
$$ \text{Implied Probability} = \frac{\text{Negative US Odds}}{\text{Negative US Odds} + 100} $$
例如皇马（-130）：
$$ \text{Implied Probability} = \frac{130}{130 + 100} = 0.565 \quad \text{或} \quad 56.5% $$
2.2. 使用小数赔率计算收益
小数赔率的计算非常直接：只需将下注金额乘以赔率，再减去本金即可得到净收益。
公式如下：
$$ \text{Winnings} = (\text{Wager} \times \text{Decimal Odds}) - \text{Wager} $$
假设皇马赔率为 2.40，巴萨赔率为 1.61：
- 若你下注 $75 投注皇马：
$$ \text{Winnings} = (75 \times 2.40) - 75 = $105 $$
- 若你下注 $75 投注巴萨：
$$ \text{Winnings} = (75 \times 1.61) - 75 = $45.75 $$
隐含概率计算公式：
$$ \text{Implied Probability} = \frac{100}{\text{Decimal Odds}} $$
- 皇马：!$\frac{100}{2.40} = 41.7%$
- 巴萨：!$\frac{100}{1.61} = 62.11%$
2.3. 分数赔率的实际应用
假设巴萨在对阵皇马的比赛中获得 ![\frac{8}{13}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e09e7c2595e228b385dc29cf96f4defb_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com) 的赔率，意味着如果比赛进行 21 场（8 + 13），巴萨将输 8 场，赢 13 场。
隐含概率计算公式为：
$$ \text{Implied Probability} = \frac{\text{Denominator}}{\text{Denominator} + \text{Numerator}} $$
- 巴萨获胜概率：!$\frac{13}{21} = 61.9%$
- 若皇马赔率为 ![\frac{11}{8}](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7340820b13d2bee14da7507d8442bc84_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com)，则其获胜概率为：!$\frac{8}{19} = 42.1%$
3. 赔率的计算方法
赔率本质上是将“所需事件”与“互补事件”之间的比例进行量化。赔率可以写成“所需事件 : 互补事件”的形式，也可以写成一个比值。
例如：某队赢了 6 次，输了 21 次，则赔率为 6:21。我们可以将其简化为 2:7（除以最大公约数 3），即赔率为 2:7 或 
。
3.1. 如何计算赔率？
最简单的方法是将所需事件数除以互补事件数。
赔率转概率公式：
$$ PA = \frac{A}{A + B} $$ $$ PB = \frac{B}{A + B} $$
概率转赔率公式：
$$ A = \frac{PA}{PB} = \frac{PA}{1 - PA} $$
其中：
- A：所需事件（如获胜）
- B：互补事件（如失败）
- PA：事件 A 的概率
- PB：事件 B 的概率
3.2. 赔率与概率的区别
- 赔率 是所需事件与互补事件之间的比例
- 概率 是所需事件与总事件之间的比例
举个例子：
- 胜场：3 场
- 败场：9 场
- 总场数：12 场
则：
- 赔率：!$\frac{3}{9} = \frac{1}{3} = 0.3333$
- 概率：!$\frac{3}{12} = 0.25$
另一种计算赔率的方法是使用泊松分布（Poisson Distribution），适用于预测比赛得分等场景。
4. 小结
赔率本质上是事件发生概率的量化表示，它帮助博彩相关方判断如果投注成功能获得多少收益。✅
通过理解赔率背后的数学逻辑，我们可以更理性地进行体育赛事投注，避免盲目下注。⚠️
在实际应用中，建议结合历史数据、统计模型和专家分析，才能更准确地评估一支球队获胜的可能性。