1. 概述
本文将详细介绍 鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm, WOA） 的原理与实现。WOA 是一种元启发式优化算法，模仿座头鲸的捕食行为，适用于解决复杂的数值优化问题。
我们将从算法的基本概念讲起，逐步解析其数学模型，并通过一个简单的优化示例帮助理解其运行机制。
2. 什么是鲸鱼优化算法？
鲸鱼优化算法（WOA）是一种基于群体智能的元启发式优化算法，由 Mirjalili 和 Lewis 于 2016 年提出，用于解决数值优化问题。其灵感来源于座头鲸独特的捕食方式 —— 气泡网捕食法（bubble-net hunting）。
这类算法通常用于解决传统优化方法难以处理的问题，比如高维、非线性、多峰函数等。
3. 座头鲸的捕食行为
座头鲸是世界上体型最大的哺乳动物之一，具有高度的社会性和智能行为。它们采用一种独特的捕食策略 —— 气泡网捕食法：
- 领头鲸发现猎物后下潜约12米，围绕猎物形成螺旋状气泡
- 辅助鲸通过声音协调捕食节奏
- 其他鲸鱼则排列成队形，协同攻击猎物
这种行为可以形象地表示为如下图示：
4. 鲸鱼优化算法的数学模型
WOA 的核心思想是模拟座头鲸的捕食行为，分为三个阶段：
- 探索阶段（Exploration Phase）：随机搜索猎物
- 围猎阶段（Encircling Phase）：围绕猎物移动
- 开发阶段（Exploitation Phase）：使用气泡网攻击猎物
下面我们分别介绍这三个阶段的数学模型。
4.1 探索阶段：随机搜索模型
在该阶段，搜索代理（鲸鱼）通过随机选择其他代理的位置来更新自身位置：
$$ \vec{D} = |\vec{C} \cdot \vec{X}{\text{rand}} - \vec{X}| $$ $$ \vec{X}(t+1) = \vec{X}{\text{rand}} - \vec{A} \cdot \vec{D} $$
其中：
- $\vec{X}_{\text{rand}}$：从当前种群中随机选取的位置
- $\vec{A}, \vec{C}$：系数向量
这些系数的计算公式如下：
$$ \vec{A} = 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{r} - \vec{a} $$ $$ \vec{C} = 2 \cdot \vec{r} $$
其中：
- $\vec{r}$：[0,1] 之间的随机向量
- $\vec{a}$：从 2 线性递减到 0 的参数
4.2 围猎模型
在围猎阶段，鲸鱼会围绕当前最优解进行移动：
$$ D = |\vec{C} \cdot \vec{X}'(t) - \vec{X}(t)| $$ $$ \vec{X}(t+1) = \vec{X}'(t) - \vec{A} \cdot D $$
其中：
- $\vec{X}'$：当前最优解位置
- $\vec{X}$：当前鲸鱼位置
- $\vec{A}, \vec{C}$：如上定义的系数向量
4.3 开发阶段：气泡网攻击模型
此阶段模拟座头鲸围绕猎物做螺旋状运动，结合两种策略：
- 收缩包围机制（Shrinking Encircling Mechanism）
- 螺旋更新机制（Spiral Updating Mechanism）
4.3.1 收缩包围机制
$\vec{A}$ 在 [-a, a] 范围内随机取值，随着迭代次数增加，a 从 2 递减到 0。
4.3.2 螺旋更新机制
鲸鱼与猎物之间的距离计算如下：
$$ \vec{D}'' = |\vec{X}'(t) - \vec{X}(t)| $$
螺旋更新公式为：
$$ \vec{X}(t+1) = \vec{D}'' \cdot e^{bl} \cdot \cos(2\pi l) + \vec{X}' $$
其中：
- $l$：[-1,1] 之间的随机数
- $b$：螺旋形状常数
4.3.3 混合策略
最终位置更新公式如下：
$$ \vec{X}(t+1) = \begin{cases} \vec{X}'(t) - \vec{A} \cdot D & \text{if } p < 0.5 \ \vec{D}'' \cdot e^{bl} \cdot \cos(2\pi l) + \vec{X}' & \text{if } p \ge 0.5 \end{cases} $$
其中 $p$ 是随机概率，表示选择哪种方式更新位置。
5. 鲸鱼优化算法流程图
下面是一个 WOA 的完整流程图：
流程如下：
- 初始化鲸鱼种群和参数
- 评估每个个体的适应度
- 设置最大迭代次数
- 进入迭代循环：
- 探索猎物（Equation 1）
- 围猎（Equation 5）
- 气泡网攻击（Equation 8）
- 更新参数 $\vec{a}, \vec{A}, \vec{C}, p$
- 判断是否达到最大迭代次数，若未达到则继续迭代
6. 示例演示
我们通过一个简单的二维优化问题来演示 WOA 的执行过程。
6.1 问题定义
目标函数如下：
$$ \text{Fitness} = 4X(1)^2 - 2.1X(1)^4 + \frac{1}{3}X(1)^6 + X(1)X(2) - 4X(2)^2 + 4X(2)^4 $$
目标是找到使 Fitness 最小的 $X(1), X(2)$。
6.2 初始化参数
- 种群数量：5
- 最大迭代次数：100
- 初始 $a=2$，线性递减到 0
- $\vec{A}, \vec{C}$ 按公式（3）和（4）生成
6.3 初始种群及适应度
| 编号 | X(1) | X(2) | Fitness |
|---|---|---|---|
| 1 | -1.5002 | -1.4834 | 16.0964 |
| 2 | -3.0340 | 3.3083 | 1.4945 |
| 3 | -2.4892 | 0.8526 | 2.1752 |
| 4 | 1.1604 | 0.4972 | 1.4192 ✅ |
| 5 | -0.2671 | 4.1719 | 2.4043 |
当前最优解为第 4 个个体，Fitness = 1.4192。
6.4 更新策略
根据 $p$ 的值选择更新方式：
$$ \begin{cases} \text{若 } p < 0.5 \text{，使用 Equation 5 和 6} \ \text{若 } p \ge 0.5 \text{，使用 Equation 7 和 8} \end{cases} $$
6.5 迭代更新
- 每次迭代更新所有鲸鱼的位置
- 更新 $\vec{a}, \vec{A}, \vec{C}, p$
- 重新评估 Fitness
- 若达到最大迭代次数，输出最优解
7. 总结
✅ WOA 是一种基于生物行为的元启发式优化算法
✅ 模拟座头鲸的捕食策略，包括探索、围猎和气泡网攻击
✅ 适用于高维、非线性、多峰优化问题
❌ 收敛速度和局部最优问题仍需结合其他策略优化
⚠️ 建议在实际应用中结合问题特性调整参数
WOA 的优势在于其简单性和可扩展性，适合用于工程优化、机器学习超参数调优等领域。