Java解决磁带平衡问题 | Baeldung

1. 概述

本文将介绍磁带平衡问题（Tape Equilibrium Problem）并提供高效的Java解决方案。这是个经典的面试题，核心思路是识别数组的平衡索引。这里的"磁带"是对数字序列的物理比喻——将其切成两部分后，我们的目标是找到使两部分和差异最小的分割点。

2. 问题陈述

给定一个大小为N（N≥2）的整数数组A，在任意位置P（0<P<N）分割数组，形成两个非空部分，求两部分和的最小绝对差值。

以数组 {-1, 6, 8, -4, 7} 为例：

|A[0] – (A[1]+A[2]+A[3]+A[4])| = |(-1) – (6+8-4+7)| = 18
|(A[0]+A[1]) – (A[2]+A[3]+A[4])| = |(-1+6) – (8-4+7)| = 6
|(A[0]+A[1]+A[2]) – (A[3]+A[4])| = |(-1+6+8) – (-4+7)| = 10
|(A[0]+A[1]+A[2]+A[3]) – A[4]| = |(-1+6+8-4) – 7| = 2

最小差值是2，因此该数组的磁带平衡值为2。通常，索引较小部分的和称为左和，较大部分的和称为右和。

3. 算法设计

❌ 朴素解法：遍历每个分割点，分别计算左右和再求差。这种做法需要嵌套循环，复杂度达O(N²)，性能太差。

✅ 优化方案：预计算部分和数组。部分和数组中索引i的值等于原数组中所有索引≤i的元素之和。这样右和可直接通过 总和 - 左和 快速得出：

右和 = A[i+1] + ... + A[N-1] 
     = (A[0]+...+A[N-1]) - (A[0]+...+A[i]) 
     = 总和 - 左和

整个算法只需两次数组遍历（计算部分和 + 求最小差值），时间复杂度优化为O(N)。

4. 计算部分和数组

下面代码生成部分和数组，索引i处的值是原数组前i+1个元素的和：

int[] partialSums = new int[array.length];
partialSums[0] = array[0];
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
    partialSums[i] = partialSums[i - 1] + array[i];
}

5. 计算指定索引的绝对差值

利用部分和数组计算任意索引i的左右和差值。注意：

总和 = partialSums[partialSums.length - 1]
右和 = 总和 - 左和

int absoluteDifferenceAtIndex(int[] partialSums, int index) {
    return Math.abs((partialSums[partialSums.length - 1] - partialSums[index]) - partialSums[index]);
}

6. 获取磁带平衡值

整合前述步骤的完整解决方案：

int calculateTapeEquilibrium(int[] array) {
    // 计算部分和数组
    int[] partialSums = new int[array.length];
    partialSums[0] = array[0];
    for (int i = 1; i < array.length; i++) {
        partialSums[i] = partialSums[i - 1] + array[i];
    }
    
    // 初始化最小差值（第一个分割点）
    int minimalDifference = absoluteDifferenceAtIndex(partialSums, 0);
    
    // 遍历所有可能的分割点
    for (int i = 1; i < array.length - 1; i++) {
        minimalDifference = Math.min(minimalDifference, 
                                    absoluteDifferenceAtIndex(partialSums, i));
    }
    return minimalDifference;
}

测试用例验证：

@Test
void whenCalculateTapeEquilibrium_thenReturnMinimalDifference() {
    int[] array = {-1, 6, 8, -4, 7};
    assertEquals(2, new TapeEquilibriumSolver().calculateTapeEquilibrium(array));
}

7. 总结

我们用Java高效解决了磁带平衡问题，核心在于：

✅ 通过部分和数组避免重复计算
✅ 将复杂度从O(N²)优化到O(N)
⚠️ 注意边界条件：分割点范围是 0 < P < N

这种预计算策略在数组求和类问题中非常实用，面试时遇到类似问题可以优先考虑。

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