1. 概述
在设计或理解卷积神经网络（CNN）时，感受野（Receptive Field）是一个非常关键的概念。它帮助我们分析网络结构的内部机制，并为优化模型提供依据。
简单来说，感受野是指输入图像中影响某个卷积层输出特征的区域大小。这个概念在图像分割、目标检测等任务中尤为重要。例如在图像分割中，如果网络的感受野不够大，就可能无法完整识别大尺寸物体的边界，导致预测结果不完整。
2. 定义与理解
感受野可以理解为：某个卷积层中的一个输出特征值，是由输入张量中的哪一部分区域经过卷积运算得到的。
举个例子：
这是一个两层卷积网络的示意图。绿色区域是第二层中一个像素的感受野，黄色区域是第三层一个像素的感受野。可以看到，随着网络加深，感受野逐渐扩大。
我们通常最关心的是输入层的感受野大小，即最终输出特征所依赖的输入图像区域。这直接影响模型对输入信息的感知范围。
3. 计算原理
3.1. 符号说明
我们考虑一个全卷积网络（Fully Convolutional Network, FCN），共 L 层，记第 l 层的输出为 fₗ，输入图像为 f₀，最后一层输出为 fᴸ。
每层卷积操作有三个参数：
- kₗ：卷积核大小（kernel size）
- sₗ：步长（stride）
- pₗ：填充（padding）
我们的目标是计算输入层的感受野大小 r₀。
3.2. 递推公式
我们可以通过递归的方式从最后一层反推到输入层：
✅ 递推公式：
$$ r_{l-1} = s_l \cdot r_l + (k_l - s_l) $$
这个公式考虑了卷积核和步长之间的差异，当 kₗ > sₗ 时，卷积之间会有重叠；当 kₗ < sₗ 时，卷积之间会有空隙。
通过递归展开，最终可以得到输入层的感受野大小：
✅ 最终公式：
$$ r_0 = \sum_{l=1}^{L} \left( (k_l - 1) \cdot \prod_{i=1}^{l-1} s_i \right) + 1 $$
这个公式可以理解为每一层对感受野的“增量”之和。
3.3. 起始与终止位置计算
除了感受野的大小，我们有时也关心它在输入图像中的具体位置范围。我们可以使用如下公式计算起始和结束索引：
✅ 起始索引公式：
$$ u_{l-1} = -p_l + u_l \cdot s_l $$
✅ 结束索引公式：
$$ v_{l-1} = -p_l + v_l \cdot s_l + k_l - 1 $$
这些公式可以帮助我们定位感受野在输入图像中的确切区域，对于调试网络结构很有帮助。
4. 实现方法
4.1. 感受野大小计算伪代码
algorithm AnalyticalSolution(k, s, p, L):
// k = [k_1, k_2, ..., k_L]
// s = [s_1, s_2, ..., s_L]
// L = 网络层数
r <- 1
S <- 1
for l in 1 to L:
for i in 1 to l:
S <- S * s[i]
r <- r + (k[l] - 1) * S
return r
4.2. 起始与结束位置计算伪代码
algorithm RecursiveSolution(k, s, p, L):
// k = [k_1, ..., k_L]
// s = [s_1, ..., s_L]
// p = [p_1, ..., p_L]
u <- 0
v <- 0
for l in L downto 1:
u <- -p[l] + u * s[l]
v <- -p[l] + v * s[l] + k[l] - 1
return (u, v)
5. 小结
✅ 总结要点：
| 内容 | 说明 |
|---|---|
| 感受野定义 | 输入图像中影响某个特征输出的区域 |
| 感受野大小 | 反映网络对输入信息的感知范围 |
| 感受野位置 | 可通过递推公式定位其在输入图像中的具体区域 |
| 关键公式 | r₀ = ∑((kₗ-1)·∏sᵢ) + 1 |
| 应用场景 | 图像分割、目标检测、模型调试等 |
⚠️ 常见误区：
- 感受野越大越好 ❌。过大的感受野可能引入冗余信息，影响模型效率。
- 感受野大小等于输入图像尺寸 ❌。实际感受野可能远小于图像尺寸，尤其是在网络较浅时。
通过本文介绍的公式和方法，你可以准确计算任意 CNN 网络的感受野大小和位置，帮助你更好地理解和优化网络结构。