1. 简介
蜻蜓算法（Dragonfly Algorithm）是一种相对较新的启发式优化技术，近年来在多个实际问题中展现出良好的优化能力。本文将介绍该算法的基本原理、数学模型及其伪代码实现，帮助读者快速理解其核心思想与实现方式。
2. 什么是蜻蜓算法？
蜻蜓算法由 Mirjalili 于 2016 年在格里菲斯大学提出，其灵感来源于自然界中蜻蜓的静态与动态集群行为。优化过程中的两个核心阶段——探索（Exploration）和开发（Exploitation）——正好对应了蜻蜓的这两种集群行为：
- 静态集群：蜻蜓形成多个小群体，分散在不同区域，类似探索阶段，帮助算法在搜索空间中广泛定位潜在解。
- 动态集群：蜻蜓形成一个大群体并朝着同一方向飞行，类似开发阶段，有助于算法快速收敛到全局最优解。
3. 蜻蜓算法的核心行为
蜻蜓的集群行为遵循以下三条基本规则：
✅ 分离（Separation）：避免与邻近个体发生碰撞
✅ 对齐（Alignment）：与邻近个体保持速度一致
✅ 聚集（Cohesion）：向群体中心靠拢
在优化问题中，为了模拟生存需求，还需引入：
✅ 吸引（Attraction）：朝向“食物源”（最优解）
✅ 排斥（Distraction）：远离“天敌”（劣解）
这些行为共同决定了蜻蜓个体的位置更新机制，如下图所示：
4. 数学模型
蜻蜓算法的数学模型基于上述五种行为进行建模，每种行为都有对应的计算公式。
4.1 分离（Separation）
用于避免与邻近个体碰撞：
$$ S_i = -\sum_{j=1}^{N} (X - X_j) $$
其中：
- $ X $：当前个体的位置
- $ X_j $：第 $ j $ 个邻近个体的位置
- $ N $：邻近个体数量
4.2 对齐（Alignment）
使个体速度与邻近个体一致：
$$ A_i = \frac{\sum_{j=1}^{N} V_j}{N} $$
其中：
- $ V_j $：第 $ j $ 个邻近个体的速度
4.3 聚集（Cohesion）
使个体向群体中心靠拢：
$$ C_i = \frac{\sum_{j=1}^{N} X_j}{N} - X $$
4.4 吸引（Attraction）
引导个体向“食物源”靠近：
$$ F_i = X^+ - X $$
其中：
- $ X^+ $：食物源（当前最优解）的位置
4.5 排斥（Distraction）
使个体远离“天敌”：
$$ R_i = X^- - X $$
其中：
- $ X^- $：天敌（当前最差解）的位置
4.6 步长更新公式
蜻蜓的运动方向由以下公式决定：
$$ \Delta X_{t+1} = (s \cdot S_i + a \cdot A_i + c \cdot C_i + f \cdot F_i + r \cdot R_i) + w \cdot \Delta X_t $$
其中：
- $ s, a, c, f, r $：对应行为的权重系数
- $ w $：惯性权重
- $ t $：迭代次数
4.7 位置更新公式
蜻蜓的当前位置由步长更新而来：
$$ X_{t+1} = X_t + \Delta X_{t+1} $$
4.8 随机搜索机制
当没有邻近个体时，使用 Lévy 飞行进行随机搜索：
$$ X_{t+1} = X_t + X_t \cdot \text{levy}(d) $$
其中：
$$ \text{levy}(d) = 0.01 \cdot \frac{r_1 \cdot \sigma}{|r_2|^{1/\beta}} $$
参数说明：
- $ r_1, r_2 \in [0,1] $
- $ \beta $：常数
- $ \sigma $：计算公式如下：
$$ \sigma = \left( \frac{\beta! \cdot \sin(\frac{\pi \beta}{2})}{\left( \frac{\beta - 1}{2} \right)! \cdot \beta \cdot 2^{(\frac{\beta - 1}{2})}} \right)^{1/\beta} $$
5. 算法伪代码
以下是蜻蜓算法的基本实现步骤：
algorithm DragonflyAlgorithm():
// INPUT
// n = 蜻蜓数量
// OUTPUT
// 优化目标函数
初始化蜻蜓种群 X_i (i = 1, 2, ..., n)
初始化步长向量 ΔX_i (i = 1, 2, ..., n)
while 未满足终止条件:
计算每个蜻蜓的适应度
更新食物源和天敌
根据公式计算 S, A, C, F, R
if 邻居数量 ≥ 1:
更新步长向量 ΔX（公式6）
更新位置向量 X（公式7）
else:
使用 Lévy 飞行更新位置（公式8）
算法初始化时，随机生成蜻蜓的位置和步长。每轮迭代中根据邻近个体计算行为向量，并更新位置。若无邻近个体，则采用 Lévy 飞行进行全局探索。
6. 示例演示
下图展示了蜻蜓在搜索空间中动态调整行为的过程：
图中绿色圆圈表示“食物源”（最优解），红色圆圈表示“天敌”（最差解），黑色圆圈为蜻蜓个体，紫色线表示步长方向。参数设置如下：
- $ s=0.1 $, $ a=0.1 $, $ c=0.7 $, $ f=1 $, $ r=1 $
- 惯性权重 $ w $ 从 0.9 线性递减至 0.2
通过调整这些参数，可以控制蜻蜓在探索与开发之间的平衡，从而在不同阶段表现出不同的搜索行为。
7. 应用领域
蜻蜓算法已被广泛应用于多个领域，包括但不限于：
✅ 网络优化
✅ 机器学习参数调优
✅ 图像处理
✅ 无线通信资源调度
该算法因其较强的全局搜索能力和收敛性，成为解决复杂优化问题的一种有力工具。
⚠️ 总结提示：蜻蜓算法结合了生物启发式与数学建模，适合处理多峰、高维优化问题。但其参数敏感度较高，实际使用时建议结合问题特性进行调优。