1. 概述
矩阵乘法是数学中的重要运算之一，是线性代数的基础工具，在物理、工程和经济学等多个领域有广泛应用。
本文将讨论两种流行的矩阵乘法算法：朴素矩阵乘法（Naive Matrix Multiplication）和 Solvay Strassen 算法，并对它们的时间复杂度进行分析。
2. 矩阵乘法简介
我们考虑两个矩阵 A 和 B，其维度分别为 s×p 和 p×t。相乘后得到的矩阵 D 的维度为 s×t。
矩阵 D 的每个元素 D[i][j] 可通过如下公式计算：
$$ D_{ij} = \sum_{k=1}^{p} A_{ik}B_{kj} = A_{i1}B_{1j} + \cdots + A_{ip}B_{pj} $$
3. 矩阵乘法的性质
- 结合律：(A1 × A2) × A3 = A1 × (A2 × A3)
- 分配律：A1 × (A2 + A3) = A1 × A2 + A1 × A3
- 单位矩阵：对于任意矩阵 A，若其维度为 m×n，则有： $$ I_n × A = A × I_m = A $$
- 不满足交换律：通常 AB ≠ BA，除非 A 和 B 都是对角矩阵且维度相同。
4. 朴素矩阵乘法算法
4.1 算法描述
该算法采用三重嵌套循环，依次遍历两个输入矩阵 A 和 B 的元素，并计算结果矩阵 C 的每个元素。
伪代码如下：
algorithm NaiveMatrixMultiplication(S, P, A, B, G, H):
// INPUT
// S = Matrix of size AxB
// P = Matrix of size GxH
// OUTPUT
// Q = The matrix product of S and P
if B = G:
Q <- make a new matrix of size AxH
for m <- 0 to A - 1:
for r <- 0 to H - 1:
Q[m, r] <- 0
for k <- 0 to G - 1:
Q[m, r] = Q[m, r] + S[m, k] * P[k, r]
return Q
else:
return "Incompatible dimensions"
4.2 时间复杂度分析
由于有三重嵌套循环，每层循环最多执行 N 次，因此总时间复杂度为：
$$ \mathcal{O}(N^3) $$
5. Solvay Strassen 算法
5.1 算法描述
该算法采用分治策略，将两个输入矩阵 A 和 B 分割为 4 个子矩阵，然后通过一系列加减操作和 7 次递归乘法操作计算最终结果。
步骤一：分割矩阵
输入矩阵：
$$ S = \begin{pmatrix} a & b\ c & d \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} e & f \ g & h \end{pmatrix} $$
分割为四个子矩阵：
$$ S = \left(\begin{array}{c | c} a & b\ \hline c & d \end{array} \right), \quad P = \left(\begin{array}{c | c} e & f\ \hline g & h \end{array} \right) $$
步骤二：执行 10 次加减操作
- T[1] = f - h
- T[2] = a + b
- T[3] = c + d
- T[4] = g - e
- T[5] = a + d
- T[6] = e + h
- T[7] = b - d
- T[8] = g + h
- T[9] = a - c
- T[10] = e + f
步骤三：执行 7 次递归乘法
- R[1] = a × (f - h)
- R[2] = h × (a + b)
- R[3] = e × (c + d)
- R[4] = d × (g - e)
- R[5] = (a + d) × (e + h)
- R[6] = (b - d) × (g + h)
- R[7] = (a - c) × (e + f)
步骤四：组合结果矩阵
$$ Q = \begin{pmatrix} R[5] + R[4] - R[2] + R[6] & R[1] + R[2] \ R[3] + R[4] & R[5] + R[1] - R[3] - R[7] \end{pmatrix} $$
5.2 时间复杂度分析
- 分割矩阵：O(1)
- 10 次加减操作：O(N²)
- 7 次递归乘法：7T(N/2)
- 组合子矩阵：O(N²)
最终时间复杂度为：
$$ T(N) = 7T(N/2) + O(N^2) = O(N^{\log_2 7}) \approx O(N^{2.8074}) $$
6. 两种算法对比
| 参数 | 朴素算法 | Solvay Strassen 算法 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(N³) | O(N².⁸⁰⁷⁴) |
| 实现方式 | 迭代 | 分治 |
| 支持矩阵类型 | 所有类型（方阵/非方阵） | 仅支持方阵 |
| 应用场景 | 简单实现、教学 | 大规模矩阵计算、高性能计算 |
7. 总结
本文介绍了两种矩阵乘法算法：
✅ 朴素算法：实现简单，适合教学和非方阵场景，但时间复杂度较高。
✅ Solvay Strassen 算法：基于分治策略，时间复杂度更低，适合大规模方阵计算，但实现复杂。
在实际应用中，如需高性能矩阵运算，推荐使用优化后的库（如 BLAS、MKL 等），它们在底层实现了更高效的算法和硬件加速。