1. 引言
本文我们将深入探讨经典的三门问题（Monty Hall Problem），它是一个广为人知的数学谜题，其解答常常违反直觉。
我们将解释其正确解法，并分析为何很多人会误判。本文适合有一定概率基础的开发者或工程师阅读，因此不会在基础概念上做过多铺垫。
2. 什么是三门问题？
三门问题（Monty Hall Problem）源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》，问题是这样提出的：
你参加一个电视节目，面前有三扇门。其中一扇门后藏有大奖（比如汽车），另外两扇门后是山羊。你选择其中一扇门后，主持人 Monty Hall 会打开剩下两扇中的一扇，露出一只山羊。然后他问你：你是坚持原来的选择，还是换另一扇未打开的门？
问题核心是：换门是否能提高你赢得大奖的概率？
3. 常见错误解答
很多人认为，主持人打开一扇有山羊的门后，剩下两扇门中奖的概率是相等的，即各为 50%。于是认为换不换都一样。
这种思路的问题在于忽视了主持人行为的非随机性。主持人总是会打开一扇有山羊的门，而不是随机选一扇。这一点是解题的关键。
✅ 正确答案是：换门的中奖概率是 2/3，坚持原门是 1/3。
4. 直观解释
我们可以用一个简单的类比来理解这个概率变化：
假设你有 1 升水，代表全部的概率。三扇门中，你选了一扇，这扇门有奖的概率是 1/3，剩下两扇门加起来是 2/3。
现在主持人打开其中一扇没奖的门，相当于把那一扇门的“概率水”倒掉，剩下的那扇未选门就继承了那 2/3 的概率。
所以：
- 坚持原选择：中奖概率是 1/3
- 换另一扇门：中奖概率是 2/3
⚠️ 注意：主持人不会随机打开门，而是一定会打开有山羊的门。这是整个问题的核心前提。
5. 概率空间法（古典解法）
我们可以通过构建所有可能的事件空间来验证上述结论。
5.1 初始状态
三扇门分别是 A、B、C，只有一扇门后有奖（用 1 表示），其余是山羊（用 0 表示）：
| A | B | C |
|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
你有 3 个选择，共有 9 种初始组合，每种出现的概率为 1/9。
5.2 主持人行为
主持人 Monty Hall 不会随机打开门，而是总是打开一扇你没选的、有山羊的门。
这使得某些组合的概率发生变化。例如，如果你选了 A，而奖在 A，主持人会在 B 和 C 中随机选一个打开；但如果奖在 B，主持人只能打开 C。
最终的事件空间如下（简化后）：
| 奖门 | 初始选择 | 主持人开 | 概率 |
|---|---|---|---|
| A | A | B | 1/18 |
| A | A | C | 1/18 |
| A | B | C | 1/9 |
| A | C | B | 1/9 |
| B | A | C | 1/9 |
| B | B | A | 1/18 |
| B | B | C | 1/18 |
| B | C | A | 1/9 |
| C | A | B | 1/9 |
| C | B | A | 1/9 |
| C | C | A | 1/18 |
| C | C | B | 1/18 |
共 12 种可能情况，不是全部等概率。
5.3 计算两种策略的概率
我们计算坚持原选择中奖的概率：
- 初始选择正确的情况有 6 种（如 A 选 A、B 选 B、C 选 C）
- 每种概率是 1/18，总和为 6 × 1/18 = 1/3
所以：
- 坚持原选择中奖概率：1/3
- 换门中奖概率：1 - 1/3 = 2/3
6. 贝叶斯方法（Bayesian Approach）
使用贝叶斯定理可以更简洁地推导出结果。
6.1 定义假设与事件
设：
- $ H_i $：奖在门 i（i ∈ {A, B, C}）
- $ M_j $：主持人打开门 j（j ∈ {A, B, C}）
我们关注的是：在主持人打开门 j 的情况下，奖在你最初选择的门 i 的概率，即：
$$ P(H_i \mid M_j) $$
根据贝叶斯定理：
$$ P(H_i \mid M_j) = \frac{P(M_j \mid H_i) \cdot P(H_i)}{P(M_j)} $$
6.2 先验概率
奖在每扇门的概率是均匀的：
$$ P(H_A) = P(H_B) = P(H_C) = \frac{1}{3} $$
6.3 条件概率
如果奖在你选的门 i，主持人会在另外两扇门中随机选一扇打开：
$$ P(M_j \mid H_i) = \frac{1}{2} $$
如果奖不在你选的门 i，则主持人只能打开另一扇没有奖的门：
$$ P(M_j \mid H_k) = 1 \quad (k \neq i) $$
6.4 全概率公式计算 $ P(M_j) $
使用全概率公式：
$$ P(M_j) = P(M_j \mid H_i)P(H_i) + P(M_j \mid H_k)P(H_k) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1}{2} $$
6.5 后验概率
代入贝叶斯公式：
$$ P(H_i \mid M_j) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} $$
说明：坚持原选择中奖概率为 1/3，换门中奖概率为 2/3。
7. 为什么人们容易误解？
很多人会误认为换不换门概率都一样，主要原因有：
- 直觉误导：认为主持人打开门后只剩下两个选项，概率自然平分
- 心理偏差：人们更害怕因换门而错失大奖，即使数学上换门更优
- 教育背景影响：即使是数学专业的学生，也可能在初次接触时犯错
心理学研究表明，人类在面对概率问题时，常常依赖直觉而非逻辑推理，导致统计直觉出现偏差。
8. 小结
三门问题是一个经典的概率悖论，其正确解法是：
✅ 换门中奖概率为 2/3，坚持原选择为 1/3。
我们通过两种方式进行了验证：
- 构建事件空间，计算每种情况的概率
- 使用贝叶斯定理进行后验概率推导
虽然数学上结论明确，但人们在直觉上仍容易误判。这也说明了概率问题在现实中的复杂性和挑战性。
如果你在面试中遇到类似问题，不妨试着用“主持人行为非随机”这一点作为突破口，往往能更快理解问题本质。