1. 概述
在本文中，我们将深入探讨随机游走（Random Walk）这一数学与概率论中的经典概念。我们会从定义入手，结合一维和二维随机游走的示例进行说明，并讨论其不同类型和实际应用。
文章目标读者为有一定数学和编程基础的开发者或研究人员，因此对基础概念不做过多铺垫。
2. 随机游走的基本概念
随机游走是一种离散的随机过程，描述一个对象在空间中按照某种概率规则进行移动的过程。每一步的方向和距离由概率决定，且与之前的状态无关，具有马尔可夫性质。
举个形象的例子，一个喝醉的人走路：他没有明确的方向感，每一步都可能朝任意方向迈出。这种无规则的路径就构成了一种典型的随机游走。
✅ 关键点：
- 每一步的移动是独立的
- 未来位置与当前位置无关
- 概率分布决定了每一步的走向
3. 一维随机游走
一维随机游走是最基础的形式，通常用于描述在直线上移动的过程。
我们以整数轴上的游走为例：
假设一个对象初始位于位置 0，它可以向前或向后移动。我们通过抛硬币决定方向：正面为 +1（向前），反面为 -1（向后）。
第一步：
对象可能出现在 +1 或 -1 的位置，概率均为 1/2。
第二步：
此时对象可能出现在 -2、0 或 +2 的位置。其中：
- -2 和 +2 的出现概率各为 1/4
- 0 的出现概率为 1/2
第三步：
此时对象可能出现在 -3、-1、+1、+3 的位置。其中：
- -3 和 +3 的概率为 1/8
- -1 和 +1 的概率为 3/8
💡 观察：
- 当步数为奇数时，对象只能出现在奇数位置
- 当步数为偶数时，对象只能出现在偶数位置
我们可以用随机变量 $ C_j $ 表示第 j 次抛硬币的结果（+1 或 -1），则整个过程可表示为：
$$ X_n = \sum_{j=1}^{n} C_j $$
其中 $ X_n $ 表示第 n 步后的位置。由于 $ C_j $ 是独立同分布的随机变量，且期望值为 0，因此 $ X_n $ 的期望也为 0。
4. 二维随机游走
二维随机游走发生在整数网格中，对象可以向四个方向移动：上、下、左、右。
在这个模型中，每一步我们抛两次硬币：
- 第一次决定上下方向
- 第二次决定左右方向
有趣的是，在二维网格中，只要步数足够大（趋于无穷），对象几乎一定会回到起点。也就是说，二维随机游走是“常返”的（Recurrent）。
5. 随机游走的类型
根据对象是否能保证返回起点，随机游走可分为两类：
| 类型 | 特点 |
|---|---|
| 常返型（Recurrent） | 对象几乎一定会返回起点（如一维、二维随机游走） |
| 暂留型（Transient） | 存在一定概率对象永远不会返回起点（如三维及以上随机游走） |
在三维空间中，对象每一步有更多移动方向选择，因此更难回到原点。
6. 随机游走的应用场景
随机游走在多个领域都有广泛应用，尤其在建模不确定性和随机过程方面：
✅ 常见应用场景：
- 金融：模拟股票价格波动（如布朗运动）
- 生物学：描述基因漂变（Genetic Drift）
- 物理学：聚合物链的建模（Polymer Physics）
- 计算机科学：搜索引擎算法（如 PageRank）
- 生态学：模拟动物的移动路径
- 心理学：认知过程建模
⚠️ 踩坑提醒：
- 在建模过程中，注意区分“常返”和“暂留”特性对长期行为的影响
- 高维随机游走收敛慢，建模时需注意样本量和迭代次数
7. 总结
本文我们介绍了随机游走的基本概念，分别讨论了一维和二维随机游走的特点，并解释了其两种类型（常返型与暂留型）的本质区别。最后，我们列举了随机游走在多个领域中的应用。
随机游走不仅是一个理论工具，更是建模现实世界中随机行为的重要方法。在后续实践中，可以根据具体场景选择合适的维度和模型进行建模与分析。