1. 简介
在本教程中，我们将深入探讨一种相对较新的、受自然启发的元启发式优化技术。它灵感来源于深海中常见的樽海鞘（salp）群体行为。
这是一种活跃的研究领域，已经在特定优化问题中展现出了实用价值。
2. 什么是 Salp（樽海鞘）
Salp 是一种桶状的浮游被囊动物，属于樽海鞘科（Salpidae）。它是动物界中喷射推进效率最高的例子之一。这种推进方式是通过收缩身体，将水从体内泵出以实现移动。
一个有趣的行为是，当它们聚集在一起时，会形成一条链状的群体：
从生物学角度看，目前尚不清楚这种群体行为的具体原因。但研究者推测这可能有助于它们更好地移动和觅食。我们把这种群体称为“salp chain”，有时它们可以非常庞大！
3. 为什么我们要关注它？
Salp 是一种迷人的生物，关于它们的自然行为还有许多研究正在进行中。但就优化问题而言，我们更关注的是它们的群体行为。关键在于模仿这种行为来解决复杂的优化问题。
群体智能（Swarm Intelligence）是指由去中心化、自组织系统所表现出的集体行为。这些系统可以是自然的，也可以是人工的，通常由简单的个体组成，这些个体通过局部交互以及与环境的互动，表现出全局的智能行为。
现实世界中的优化问题通常非常复杂。它们产生的搜索空间往往非常庞大，传统的数学规划方法在有限的时间和资源下难以找到全局最优解。这时，元启发式方法（metaheuristics）可以在更少的计算资源下找到较优解。虽然不能保证找到全局最优解，但能显著提升效率。
像蚂蚁、蝗虫、鲸鱼、蜜蜂、萤火虫等生物的群体行为多年来被研究者建模，用于解决复杂的优化问题。它们通过协作可以解决个体无法完成的任务。例如，蚂蚁可以协同找到远离巢穴的食物源：
有趣的是，某些元启发式算法在某些问题上表现良好，但在其他问题上可能效果不佳。这也正是这个领域持续发展的原因。我们想探讨的是：是否可以通过建模 salp 的群体行为，来更高效地解决某些优化问题？
4. 数学建模
虽然这个概念本身很吸引人，但如果不进行数学建模，就无法将其用于实际。几年前，S. Mirjalili 等人在其研究论文中首次尝试对 salp 的群体行为进行建模。他们提出将 salp 群体分为“领导者”和“跟随者”两类：
如图所示，单个 salp（a）组成一个链式结构（b）。在数学建模中，我们将运动方向上的第一个 salp 定义为“leader”，其余为“followers”。
我们假设所有 salp 处于一个 n 维搜索空间中，其中 n 是问题中变量的个数。我们可以用一个二维矩阵 x 来存储所有 salp 的位置，食物源（最优解）记为 F。
4.1 领导者 salp 的位置更新公式：
$$ x_{j}^{1} = \begin{cases} F_{j} + c_{1}((ub_{j} - lb_{j})c_{2} + lb_{j}) & c_{3} \geq 0 \ F_{j} - c_{1}((ub_{j} - lb_{j})c_{2} + lb_{j}) & c_{3} < 0 \end{cases} $$
其中：
- $ x_{j}^{1} $：leader 在第 j 维的位置
- $ F_j $：食物源在第 j 维的位置
- $ ub_j $ 和 $ lb_j $：第 j 维的上下界
- $ c_1, c_2, c_3 $：随机变量
其中 $ c_1 $ 最为关键，它控制算法在“探索”和“开发”之间的平衡。其更新公式如下：
$$ c_1 = 2e^{-(\frac{4l}{L})^2} $$
其中：
- $ l $：当前迭代次数
- $ L $：总迭代次数
$ c_2 $ 和 $ c_3 $ 是在 [0,1] 区间内随机生成的数。
4.2 跟随者 salp 的位置更新公式：
$$ x_{j}^{i} = \frac{1}{2}(x_{j}^{i} + x_{j}^{i-1}) \quad i \geq 2 $$
其中：
- $ x_{j}^{i} $：第 i 个 follower 在第 j 维的位置
这些公式使得我们可以在数学上模拟 salp 的群体行为，从而用于构建优化算法。
5. Salp Swarm 算法
有了数学模型后，我们可以基于它构建用于优化问题的算法。根据优化目标的不同，可以分为单目标和多目标两类算法。
5.1 单目标优化问题
单目标优化问题只有一个目标函数，可以是最大化或最小化问题，可能还包含等式或不等式约束。其数学形式如下：
$$ \text{Minimize: } F(\vec{x}) = f_1(\vec{x}) $$ $$ \text{Subject to: } g_i(\vec{x}) \geq 0, \quad i=1,2,...,m $$ $$ h_i(\vec{x}) = 0, \quad i=1,2,...,p $$ $$ lb_i \leq \vec{x} \leq ub_i, \quad i=1,2,...,n $$
使用 salp 群体模型解决此类问题时，我们把食物源设为当前最优解，并假设整个群体在追逐它。我们称该算法为 **Single-objective Salp Swarm Algorithm (SSA)**。
算法伪代码如下：
algorithm SSAAlgorithm(n, ub, lb):
// 输入：salp 数量、变量上下界
// 输出：最优解 F
初始化 salp 群体 x[1..n]
while 未满足终止条件:
计算每个 salp 的适应度
F = 当前最优解
更新 c1
for 每个 salp:
if 是 leader:
按照公式更新 leader 位置
else:
按照公式更新 follower 位置
根据变量边界修正 salp 位置
return F
5.2 多目标优化问题
多目标优化问题需要同时优化多个目标函数，其数学形式如下：
$$ \text{Minimize: } F(\vec{x}) = {f_1(\vec{x}), f_2(\vec{x}), ..., f_o(\vec{x})} $$ 其余约束条件与单目标相同。
在多目标优化中，我们使用 Pareto 最优支配（Pareto optimal dominance）概念来比较候选解。若解 x 在所有目标上不差于 y，且至少在一个目标上更优，则 x 支配 y。
我们维护一个 Pareto 最优解集合（也称非支配解集合），并从中选择食物源进行迭代。
我们称该算法为 **Multi-objective Salp Swarm Algorithm (MSSA)**，其伪代码如下：
algorithm MSSAAlgorithm(n, ub, lb):
// 输入：salp 数量、变量上下界
// 输出：非支配解集合 repository
初始化 salp 群体 x[1..n]
while 未满足终止条件:
计算每个 salp 的适应度
找出非支配解并更新 repository
if repository 已满:
执行维护策略移除一个解
添加新非支配解
F <- 从 repository 中选择食物源
更新 c1
for 每个 salp:
if 是 leader:
更新 leader 位置
else:
更新 follower 位置
根据变量边界修正 salp 位置
return repository
与 SSA 相比，MSSA 主要区别在于维护一个非支配解集合，并从中选择食物源。这使得算法能更好地探索 Pareto 前沿的稀疏区域。
6. 实际应用
基于 salp swarm 的算法是当前活跃的研究方向，已经在多个实际问题中得到了应用。例如：
经典优化问题：
- 三杆桁架设计
- 焊接梁设计
- I 型梁设计
- 悬臂梁设计
- 拉压弹簧设计
工程设计问题：
- 二维翼型设计（SSA）
- 船用螺旋桨设计（MSSA）
实验结果表明，SSA 和 MSSA 在这些问题中都能找到较优解。未来随着研究深入，这类算法有望在更多领域如极限机器学习（Extreme Machine Learning, ELM）中得到应用。
7. 总结
在本教程中，我们了解了 salp 的群体行为及其在优化问题中的应用潜力。我们学习了其数学建模方法，并基于此构建了用于解决单目标和多目标优化问题的元启发式算法。
✅ SSA 和 MSSA 都展现出良好的搜索能力和收敛性
✅ 它们分别适用于单目标和多目标优化问题
❌ 当前仍处于研究阶段，尚未广泛应用于工业场景
⚠️ 算法性能依赖于参数设置和问题类型，需根据具体问题调优
未来随着研究的深入，相信这类算法将在更多实际问题中展现其价值。