1. 概述
在本文中，我们将讲解计算机视觉中的两个常见概念：平移不变性（Translation Invariance） 与 平移协变性（Translation Equivariance）。
我们会先回顾“平移”的数学定义，然后通过图示和例子，详细解释这两个概念之间的区别。最后我们还会结合卷积神经网络（CNN）说明它们在实际应用中的意义。
2. 什么是平移？
平移是一种几何变换，它将图像中所有点沿相同方向移动相同距离。也可以理解为将坐标系的原点反方向移动相同距离。
数学上，平移可以表示为：
$$ T_{\mathbf{v}} (\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathbf{v} $$
其中，$\mathbf{x}$ 是原始点，$\mathbf{v}$ 是平移向量。
举个例子，下图中图像 (b) 是图像 (a) 中每个像素向左移动 150 像素后得到的：
3. 平移不变性（Translation Invariance）
一个属性如果是平移不变的，意味着它在图像平移后不会发生变化。
以图像识别为例，无论目标出现在图像哪个位置，我们都应该能正确识别出它的类别。比如，下图中无论人脸在左边还是中间，我们都应识别出“人”的类别。因此，图像分类器的输出就应具有平移不变性。
下面是一个形象的示意图，展示了图像分类器的平移不变性：
✅ 重点：分类器输出不变，即使输入图像被平移。
4. 平移协变性（Translation Equivariance）
平移协变性常与平移不变性混淆，它们的定义有本质区别。
数学定义：
函数 $f$ 对变换 $g$ 是协变的，当且仅当：
$$ f(g(x)) = g(f(x)) $$
即：先对输入做变换再经过函数处理，等价于先用函数处理再对输出做变换。
举个例子：卷积操作
卷积操作具有平移协变性。例如：
- 如果我们对图像 $\mathbf{I}$ 先做平移 $T_{\mathbf{v}}$，再进行卷积操作，得到的特征图是 $f(T_{\mathbf{v}}(\mathbf{I}))$
- 如果我们先卷积再平移，结果是 $T_{\mathbf{v}}(f(\mathbf{I}))$
这两种方式的结果是相同的。
下图形象展示了卷积操作的平移协变性：
✅ 重点：输入平移 → 输出特征图也平移，但内容保持一致。
5. CNN 中的平移不变性与协变性
在卷积神经网络（CNN）中，平移不变性 和 平移协变性 是两个关键特性：
✅ 协变性来自卷积层
卷积层具有平移协变性。图像中某个区域的特征被检测到后，即使图像整体平移，特征图中该特征也会以相同方式平移。
✅ 不变性来自池化层（Pooling）
CNN 中的池化操作（如最大池化）会“模糊”特征位置，保留其存在性。这样，即使目标位置发生变化，最终分类结果仍能保持不变。
举个例子：
- 卷积层提取特征，保留位置信息（协变）
- 池化层压缩特征图，丢失具体位置（不变）
⚠️ 注意：CNN 不具备旋转、缩放、仿射等变换的不变性或协变性
因此，为了增强模型对这些变换的鲁棒性，通常需要使用数据增强（Data Augmentation）。
6. 小结
| 概念 | 定义 | 示例 | 在 CNN 中的表现 |
|---|---|---|---|
| 平移不变性 | 输入平移后输出不变 | 图像分类器输出“人”，无论人脸在图像中哪个位置 | 由池化层实现 |
| 平移协变性 | 输入平移后输出也平移 | 卷积特征图随输入图像平移而平移 | 由卷积层实现 |
✅ 总结：
- 卷积层负责保留位置信息（协变）
- 池化层负责提取抽象特征（不变）
- 两者结合使得 CNN 在图像分类任务中表现优异